Question

13．如图，已知二次函数y=ax²-4x+c的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．
（3）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．请求出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A点和B点坐标代入y=ax²-4x+c中得到关于a和c的方程组，然后解方程组求出a和c即可得到抛物线解析式；
（2）先根据抛物线与x轴的交点问题求出C点坐标（C点为抛物线与x的另一个交点），然后写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的取值范围即可；
（3）连结BC交直线x=2于点P，则利用两点之间线段最短得到此时点P为所求，再利用待定系数法求出BC的解析式，然后求出自变量为2所对应的一次函数值即可得到P点坐标．

解答 解：（1）根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{a+4+c=0}\\{c=-5}\end{array}\right.$，解得a=1，c=-5，
所以二次函数解析式为y=x²-4x-5；
（2）当y=0时，x²-4x-5=0，解得x₁=-1，x₂=5，
所以抛物线与x轴的交点坐标为A（-1，0），C（5，0），如图，
当x＜-1或x＞5时，y＞0；
（3）抛物线的对称轴为直线x=2，
连结BC交直线x=2于点P，则PC=PA，
所以PA+PB=PC+PC=PB，此时PA+PB最小，即△ABP的周长最小，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（0，-5），C（5，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=-5}\\{5k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-5}\end{array}\right.$，
所以直线BC的解析式为y=x-5，
当x=2时，y=x-5=-3，
所以使△ABP的周长最小的点P的坐标为（2，-3）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了求最短路径的方法．