Question

8．如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC=6千米，∠CAB=15°，∠CBA=30°．因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路．
（1）求改直后的公路AB的长；
（2）问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米？（结果保留根号）

Answer 1

分析 （1）过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，在RtACD中，∠ADC=90°，∠ACD=45°，AC=6，推出CD=AD=3$\sqrt{2}$，在RtABD中，∠ADB=90°，∠B=30°，AD=3$\sqrt{2}$，推出AB=6$\sqrt{2}$，即可解决问题．
（2）根据AC和BC的长度，即可得出公路改直后该段路程比原来缩短的路程．

解答 解：（1）过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，
∵∠B=30°，∠CAB=15°，
∴∠ACD=45°．
在RtACD中，∠ADC=90°，∠ACD=45°，AC=6，
∴CD=AD=3$\sqrt{2}$，
在RtABD中，∠ADB=90°，∠B=30°，AD=3$\sqrt{2}$，
∴AB=6$\sqrt{2}$，
答：改直后的公路AB的长为6$\sqrt{2}$千米．

（2）在RtABD中，∠ADB=90°，∠B=30°，AD=3$\sqrt{2}$，
∴BD=3$\sqrt{6}$
∴BC=3$\sqrt{6}$-3$\sqrt{2}$，
AC+BC-AB=6+3$\sqrt{6}$-3$\sqrt{2}$-6$\sqrt{2}$
=6+3$\sqrt{6}$-9$\sqrt{2}$（1分）
答：公路改直后该段路程比原来缩短了（6+3$\sqrt{6}$-9$\sqrt{2}$）千米．

点评 此题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．