Question

20．如图，矩形纸片ABCD中，AD=1，AB=2．将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB、CD交于点G、F，AE与FG交于点O．当△AED的外接圆与BC相切于BC的中点N．则折痕FG的长为$\frac{17}{15}$．

Answer 1

分析 连接NO并延长交AD于M，得到OM=$\frac{1}{2}$CD，设DE=x，则MO=$\frac{1}{2}$x，表示出AE、DE，在RT△ADE中，利用勾股定理可解出x，继而可得出折痕FG的长度．

解答 解：连接NO并延长交AD于M，
∵△AED是直角三角形，AE是斜边，点O是AE的中点，△AED的外接圆与BC相切于点N，
∴ON⊥BC，MN⊥AD，
∴MN=AB=CD，
∵点O是AE的中点，点N是线段BC的中点，
∴ON=$\frac{1}{2}$AB，
∴OM=$\frac{1}{2}$CD，

设DE=x，则MO=$\frac{1}{2}$x，
在矩形ABCD中，∠C=∠D=90°，
故AE为△AED的外接圆的直径．
延长MO交BC于点N，则ON∥CD，
∵四边形MNCD是矩形，
∴MN=CD=2，
∴ON=MN-MO=2-$\frac{1}{2}$x，
∵△AED的外接圆与BC相切，
∴ON是△AED的外接圆的半径，
∴OE=ON=2-$\frac{1}{2}$x，AE=4-x，
在Rt△AED中，AD²+DE²=AE²，
∴1²+x²=（4-x）²，
得x=DE=$\frac{15}{8}$，OE=2-$\frac{1}{2}$x=$\frac{17}{16}$，
∵△FEO∽△AED，
∴$\frac{OE}{DE}$=$\frac{OF}{AD}$，
解得：FO=$\frac{17}{30}$，
∴FG=2FO=$\frac{17}{15}$．
故折痕FG的长是$\frac{17}{15}$．

点评 此题考查了切线的性质，翻折变换，矩形的判定，关键在于得出ON、OE均是△AED的外接圆的半径，难度较大．