Question

13．如图，在平行四边形ABCD中，AB=3，BC=5，点F是AD上的一点，且DF=2，连接BF交AC于点E．
（1）证明：BF平分∠ABC；
（2）过A作AG⊥BF于点G，求$\frac{EG}{EF}$的值．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出AD=BC=5，AD∥BC，由平行线的性质得出∠AFB=∠CBF，证出AF=AB，由等腰三角形的性质得出∠ABF=∠AFB，证出∠CBF=∠AFB即可；
（2）由平行线得出△AEF∽△CEB，得出对应边成比例$\frac{EF}{BE}=\frac{AF}{BC}$=$\frac{3}{5}$，由等腰三角形的三线合一性质得出BG=FG，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=5，AD∥BC，
∴∠AFB=∠CBF，AF=AD-DF=5-2=3，
∵AB=3，
∴AF=AB，
∴∠ABF=∠AFB，
∴∠CBF=∠AFB，
∴BF平分∠ABC；
（2）解：∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CEB，
∴$\frac{EF}{BE}=\frac{AF}{BC}$=$\frac{3}{5}$，
∵AB=AF，AG⊥BF，
∴BG=FG，
∴$\frac{EG}{EF}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定由V型在、平行四边形的性质、比例的性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．