Question

20．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（9，12），点B是x轴正半轴上的一个动点，作AC⊥AB，使AC：AB=4：3，过点C的直线y=-$\frac{4}{3}$x$+\frac{4}{3}$m$+\frac{100}{3}$交x轴于点D，当m取何值时，△OCD为等腰三角形？

Answer 1

分析 过A作AE⊥OD于E，过C作CF⊥OD于F，AH⊥CF于H，则四边形AEFH是矩形，求得∠EAH=90°，推出△ABE∽△ACH，根据相似三角形的性质得到AE=12，OE=9，得到OF=25，CF=-$\frac{4}{3}$×25$+\frac{4}{3}$m$+\frac{100}{3}$=$\frac{4}{3}$m，根据勾股定理得到OC=$\sqrt{2{5}^{2}+\frac{16}{9}m}$，OD=m+25，CD=$\sqrt{{m}^{2}+\frac{16}{9}{m}^{2}}$，根据等腰三角形的定义列方程即可得到结论．

解答 解：过A作AE⊥OD于E，过C作CF⊥OD于F，AH⊥CF于H，
则四边形AEFH是矩形，
∴∠EAH=90°，
∵∠CAB=90°，
∴∠EAB=∠CAH，
∵∠AEB=∠AHC=90°，
∴△ABE∽△ACH，
∴$\frac{AE}{AH}=\frac{AB}{AC}$=$\frac{3}{4}$，
∵A（9，12），
∴AE=12，OE=9，
∴AH=16，
∴OF=25，
∴CF=-$\frac{4}{3}$×25$+\frac{4}{3}$m$+\frac{100}{3}$=$\frac{4}{3}$m，
∴OC=$\sqrt{C{F}^{2}+O{F}^{2}}$=$\sqrt{2{5}^{2}+\frac{16}{9}m}$，OD=m+25，CD=$\sqrt{{m}^{2}+\frac{16}{9}{m}^{2}}$，
当OC=OD时，$\sqrt{2{5}^{2}+\frac{16}{9}m}$=m+25，解得：m=$\frac{450}{7}$，
当OD=CD时，m+25=$\frac{5}{3}$m，解得：m=$\frac{75}{2}$，
当OC=CD时，$\sqrt{2{5}^{2}+\frac{16}{9}m}$=$\frac{5}{3}$m，解得：m=25，
综上所述：当m=$\frac{450}{7}$或$\frac{75}{2}$或25时，△OCD为等腰三角形．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．