Question

4．如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△OA₁B₁，第二次将△OA₁B₁变换成△OA₂B₂，第三次将△OA₂B₂变换成△OA₃B₃，已知：A（1，3）、A₁（2，3）、A₂（4，3）、A₃（8，3）、B（2，0）、B₁（4，0）、B₂（8，0）、B₃（16，0）．求：
 （1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律．按此变换规律再将△OA₃B₃变换成△OA₄B₄，则A₄的坐标是（16，3），B₄的坐标是（32，0）；
（2）若按第（1）题找到的规律将△OAB进行n次变换，得到△OA_nB_n．推测A_n的坐标是（2ⁿ，3），B_n的坐标是（2ⁿ⁺¹，0）；
（3）这时三角形的边变化了，跟随着三角形的形状也发生了变化，三角形横（横、纵）向放大（放大、缩小）到原来的2ⁿ倍，三角形的面积呢？

Answer 1

分析 （1）根据题目中的信息可以发现A₁、A₂、A₃各点坐标的关系为横坐标是2ⁿ，纵坐标都是3，故可求得A₄的坐标；B₁、B₂、B₃各点的坐标的关系为横坐标是2ⁿ⁺¹，纵坐标都为0，从而可求得点B₄的坐标；
（2）根据（1）中发现的规律可以求得A_n、B_n点的坐标；
（3）根据三角形的底边后一个是前一个三角形的底边的2倍，先求出△OA_nB_n的底边OB_n的长度，高都是4不变，然后利用三角形的面积公式分别计算出两三角形的面积，相除即可得到倍数．

解答 解：（1）∵A₁（2，3）、A₂（4，3）、A₃（8，3）．
∴A₄的横坐标为：2⁴=16，纵坐标为：3．
故点A₄的坐标为：（16，3）．
又∵B₁（4，0）、B₂（8，0）、B₃（16，0）．
∴B₄的横坐标为：2⁵=32，纵坐标为：0．
故点B₄的坐标为：（32，0）；
故答案为：（16，3），（32，0）；

（2）由A₁（2，3）、A₂（4，3）、A₃（8，3），可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2ⁿ，纵坐标都是3．
故A_n的坐标为：（2ⁿ，3）．
由B₁（4，0）、B₂（8，0）、B₃（16，0），可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2ⁿ⁺¹，纵坐标都是0．
故B_n的坐标为：（2ⁿ⁺¹，0）
故答案为：（2ⁿ，0），：（2ⁿ⁺¹，0）；

（3）根据规律，后一个三角形的底边是前一个三角形底边的2倍，高相等都是4，OB_n=2ⁿ⁺¹，
∴三角形的边变化了，跟随着三角形的形状也发生了变化，三角形横向放大到原来的2ⁿ倍，
∵S_△OAnBn=$\frac{1}{2}$×2ⁿ⁺¹×4=2ⁿ⁺²，
S_△OAB=$\frac{1}{2}$×2×4=4，
2ⁿ⁺²÷4=2ⁿ，
∴△OAnBn的面积是△OAB面积的2ⁿ倍，
故答案为：边，横，放大，2ⁿ．

点评 本题考查了坐标变换的平移变换以及图形规律的探寻，发现三角形的高都是4不变，底边成2倍扩大的规律是解题的关键．