Question

矩形OABC在直角坐标系中位置如图，点A的坐标为（3，0），直线y=2x与AB边相交于点B．
（1）求点B、C的坐标．
（2）若抛物线y=x²+bx+c经过C、B两点，试求抛物线的表达式．
（3）设（2）中抛物线的对称轴与直线OB交于点H，点P为对称轴上一动点，以O、H、P为顶点的三角形与△OCB相似，求符合条件的点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）将x=3代入y=2x，求出y的值，即可得到点B、C的坐标；
（2）将C、B两点的坐标代入y=x²+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的表达式；
（3）由于∠OHP≠90°，而∠OCB=90°，所以当以O、H、P为顶点的三角形与△OCB相似时，分两种情况进行讨论：①∠HOP=90°；②∠OPH=90°．设点P的坐标为（

3

2

，y）．根据勾股定理列出关于y的方程，解方程即可．

解答：解：（1）将x=3代入y=2x，得y=2×3=6，
所以B（3，6），C（0，6）；

（2）∵抛物线y=x²+bx+c经过C、B两点，
∴

c=6 9+3b+c=6

，解得

b=-3 c=6

，
故所求抛物线的表达式为y=x²-3x+6；

（3）∵y=x²-3x+6，
∴对称轴为x=

3

2

．
将x=

3

2

代入y=2x，得y=2×

3

2

=3，
∴H（

3

2

，3）．
以O、H、P为顶点的三角形与△OCB相似时，设点P的坐标为（

3

2

，y）．
分两种情况进行讨论：
①当∠HOP=90°时，由勾股定理，得OH²+OP²=HP²，
即

9

4

+9+

9

4

+y²=（y-3）²，解得y=-

3

4

，
所以点P的坐标为（

3

2

，-

3

4

）；
②当∠OPH=90°，由勾股定理，得HP²+OP²=OH²，
即

9

4

+y²+（y-3）²=

9

4

+9，解得y₁=0，y₂=3（不合题意舍去）
所以点P的坐标为（

3

2

，0）．
综上可知，符合条件的点P的坐标为（

3

2

，-

3

4

）或（

3

2

，0）．

点评：本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式，两直线交点坐标的求法，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，综合性较强，难度适中．其中（3）运用分类讨论是解题的关键．