Question

【题目】（1）问题发现：

如图1，在等边三角形ABC中，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN，NC与AB的位置关系为__________；

（2）深入探究：

如图2，在等腰三角形ABC中，BA=BC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等腰三角形AMN，使∠ABC=∠AMN，AM=MN，连接CN，试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由；

（3）拓展延伸：

如图3，在正方形ADBC中，AD=AC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作正方形AMEF，点N为正方形AMEF的中点，连接CN，若BC=10，CN=，试求EF的长．

Answer 1

【答案】（1）NC∥AB（2）∠ABC=∠ACN，理由见解析；（3）EF= ．

【解析】分析：（1）根据△ABC，△AMN为等边三角形，得到AB=AC，AM=AN且∠BAC=∠MAN=60°从而得到∠BAC-∠CAM=∠MAN-∠CAM，即∠BAM=∠CAN，证明△BAM≌△CAN，即可得到BM=CN．
（2）根据△ABC，△AMN为等腰三角形，得到AB：BC=1：1且∠ABC=∠AMN，根据相似三角形的性质得到，利用等腰三角形的性质得到∠BAC=∠MAN，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（3）如图3，连接AB，AN，根据正方形的性质得到∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，根据相似三角形的性质得出，得到BM=2，CM=8，再根据勾股定理即可得到答案．

详解：（1）NC∥AB，理由如下：

∵△ABC与△MN是等边三角形，

∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，

∴∠BAM=∠CAN，

在△ABM与△ACN中，

，

∴△ABM≌△ACN（SAS），

∴∠B=∠ACN=60°，

∵∠ANC+∠ACN+∠CAN=∠ANC+60°+∠CAN=180°，

∴∠ANC+∠MAN+∠BAM=∠ANC+60°+∠CAN=∠BAN+∠ANC=180°，

∴CN∥AB；

（2）∠ABC=∠ACN，理由如下：

∵=1且∠ABC=∠AMN，

∴△ABC～△AMN

∴，

∵AB=BC，

∴∠BAC=（180°﹣∠ABC），

∵AM=MN

∴∠MAN=（180°﹣∠AMN），

∵∠ABC=∠AMN，

∴∠BAC=∠MAN，

∴∠BAM=∠CAN，

∴△ABM～△ACN，

∴∠ABC=∠ACN；

（3）如图3，连接AB，AN，

∵四边形ADBC，AMEF为正方形，

∴∠ABC=∠BAC=45°，∠MAN=45°，

∴∠BAC﹣∠MAC=∠MAN﹣∠MAC

即∠BAM=∠CAN，

∵，

∴，

∴△ABM～△ACN

∴，

∴=cos45°=，

∴，

∴BM=2，

∴CM=BC﹣BM=8，

在Rt△AMC，

AM=，

∴EF=AM=2．