Question

20．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是对角线AC上一点，∠ADC=∠ABC．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）分别过点E、B作AB和AC的平行线交于点F，连接CF，若∠FCE=∠DCE，求证：四边形EFCD是菱形．

Answer 1

分析 （1）欲证明四边形ABCD是平行四边形，只需推知AD∥BC；
（2）根据平行四边形的定义求出四边形ABFE是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等可得AB∥EF，AB=EF，再求出CD∥EF，CD=EF，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求出四边形EFCD是平行四边形，根据两直线平行，内错角相等可得∠FEC=∠ECD，从而求出∠FEC=∠FCE，根据等边对等角可得EF=FC，再根据邻边相等的平行四边形是菱形求出平行四边形EFCD是菱形．

解答 证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°．
∵∠ADC=∠ABC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴AD∥BC，
又AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；

（2）∵EF∥AB，BF∥AE，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴AB∥EF，AB=EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴CD∥EF，CD=EF，
∴四边形EFCD是平行四边形，
∵CD∥EF，
∴∠FEC=∠ECD，
又∵∠DCE=∠FCE，
∴∠FEC=∠FCE，
∴EF=FC，
∴平行四边形EFCD是菱形．

点评 本题考查平行四边形、菱形的判定，具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．