Question

16．已知三角形AOC的顶点坐标分别为O（0，0），A（$\sqrt{3}$，0），C（0，1）．将△AOC沿AC翻折得到△APC．
（1）P点坐标为（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）；
（2）将△PCA绕CA的中点M顺时针旋转90°到△P₁C₁A₁的位置，点P₁的坐标为（1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）；
（3）画出相关图形．

Answer 1

分析 （1）在直角△OAC中，根据三角函数就可以求出∠CAO的度数，以及∠OCA的度数．而∠PCA=∠OCA，∠BCA=∠CAO，则∠PCB就可以求出．在直角△PAG中，根据三角函数可以求得AG，PG的长，从而得到P的坐标；
（2）如图2，连接MP₁，由旋转的性质得到△PCA≌△△P₁C₁A₁，△MP₁C₁是等边三角形，AP⊥A₁P₁，证得MP₁∥x轴，根据M是AC的中点，即可求得结论；
（3）图2即为所做的图形．

解答 解：（1）如图1，过点P作PG⊥x轴于G，
∵tan∠CAO=$\frac{OC}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠CAO=30°，
∴∠PAO=60°，
∵△AOC沿AC翻折得到△APC，
∴AP=$\sqrt{3}$，
∴AG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，PG=$\frac{3}{2}$，
∴点P的坐标为（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）；
故答案为：（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）；

（2）如图2，连接MP₁，
∵将△PCA绕CA的中点M顺时针旋转90°到△P₁C₁A₁，
∴△PCA≌△△P₁C₁A₁，△MP₁C₁是等边三角形，AP⊥A₁P₁，
∴MP₁=1，∠MP₁A₁=30°，
∵∠HAA₁=60°，
∴∠HNA=30°，
∴∠HNA=∠MP₁H，
∴MP₁∥x轴，
∵M是AC的中点，
∴M（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），
∴P₁（1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），
故答案为：（1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

（3）如图2所示．

点评 本题考查了折叠的性质，旋转的性质，平行线的判定好性质，坐标与图形的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．