如图.矩形A′B′C′O′是矩形OABC(边OA在x轴正半轴上.边OC在y轴正半轴上)绕B点顺时针旋转得到的．O′在x的正半轴上.B的坐标为(1.3)．(1)如果二次函数y=x2+bx+c的图象经过O.O′两点.求这个二次函数解析式,(2)求边C′O′所在直线的函数解析式,(3)将上述抛物线作适当平移.得抛物线y1=a(x-h)2.当4＜x≤m时.y1≤x恒成立.求m� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．如图，矩形A′B′C′O′是矩形OABC（边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上）绕B点顺时针旋转得到的．O′在x的正半轴上，B的坐标为（1，3）．
（1）如果二次函数y=x²+bx+c的图象经过O、O′两点，求这个二次函数解析式；
（2）求边C′O′所在直线的函数解析式；
（3）将上述抛物线作适当平移，得抛物线y₁=a（x-h）²，当4＜x≤m时，y₁≤x恒成立，求m的最大值．

分析（1）连接OB，O′B，根据旋转的性质可得OB=O′B，从而求得点O′的坐标，利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；
（2）设点D的坐标是（1，a），表示出O′D的长度，然后利用勾股定理列式求出a的值，从而得到点D的坐标，再根据待定系数法列式即可求出直线C′O′的解析式；
（3）先把y=x²-2x配成顶点式，易得抛物线C₁：y₁=（x-1）²，再求出抛物线与直线y=x的交点坐标，于是可得到y₁≤x恒成立的m的范围，则可得到m的最大值．

解答解（1）如图，连接OB，O′B，则OB=O′B，
∵四边形OABC是矩形，
∴BA⊥OA，
∴AO=AO′，
∵B点的坐标为（1，3），
∴OA=1，
∴AO′=1，
∴点O′的坐标是（2，0），
∵二次函数y=x²+bx+c的图象经过O、O′两点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=0}\\{4+2b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴二次函数的解析式为y=x²-2x；

（2）设点D的坐标为（1，a），则AD=a，
∵点B的坐标是（1，3），
∴O′D=3-a，
在Rt△ADO′中，AD²+AO′²=O′D²，
∴a²+1²=（3-a）²，
解得a=$\frac{4}{3}$，
∴点D的坐标为（1，$\frac{4}{3}$），
设直线C′O′的解析式为y=kx+b，
则 $\left\{\begin{array}{l}{2k+b=0}\\{k+b=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=\frac{8}{3}}\end{array}\right.$，
∴边C′O′所在直线的解析式：y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{8}{3}$；

（3）y=x²-2x=（x-1）²-1，所以将抛物线向上平移1个单位得抛物线C₁：y₁=（x-1）²，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=（x-1）^{2}}\\{y=x}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\\{y=\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\\{y=\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\end{array}\right.$．
所以当4＜x≤m时，y₁≤x恒成立，则m的最大值为$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$．