Question

20．在每个小正方形的边长为1的网格中．点A，B，C，D均在格点上，点E、F分别为线段BC、DB上的动点，且BE=DF．
（Ⅰ）如图①，当BE=$\frac{5}{2}$时，计算AE+AF的值等于$\frac{5+\sqrt{61}}{2}$
（Ⅱ）当AE+AF取得最小值时，请在如图②所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段AE，AF，并简要说明点E和点F的位置如何找到的（不要求证明）取格点H，K，连接BH，CK，相交于点P，连接AP，与BC相交，得点E，取格点M，N连接DM，CN，相交于点G，连接AG，与BD相交，得点F，线段AE，AF即为所求．．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理得出DB=5，进而得出AF=2.5，由勾股定理得出AE=$\sqrt{{3}^{2}+2．{5}^{2}}=\frac{\sqrt{61}}{2}$，再解答即可；
（2）首先确定E点，要使AE+AF最小，根据三角形两边之和大于第三边可知，需要将AF移到AE的延长线上，因此可以构造全等三角形，首先选择格点H使∠HBC=∠ADB，其次需要构造长度BP使BP=AD=4，根据勾股定理可知BH=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，结合相似三角形选出格点K，根据$\frac{HK}{BC}=\frac{HP}{BP}=\frac{1}{4}$，得BP=$\frac{4}{5}$BH=$\frac{4}{5}×5$=4=DA，易证△ADF≌△PBE，因此可得到PE=AF，线段AP即为所求的AE+AF的最小值；同理可确定F点，因为AB⊥BC，因此首先确定格点M使DM⊥DB，其次确定格点G使DG=AB=3，此时需要先确定格点N，同样根据相似三角形性质得到$\frac{NM}{DC}=\frac{MG}{DG}=\frac{2}{3}$，得DG=$\frac{3}{5}$DM=$\frac{3}{5}$×5=3，易证△DFG≌△BEA，因此可得到AE=GF，故线段AG即为所求的AE+AF的最小值．

解答 解：（1）根据勾股定理可得：DB=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}=5$，
因为BE=DF=$\frac{5}{2}$，
所以可得AF=$\frac{1}{2}BD$=2.5，
根据勾股定理可得：AE=$\sqrt{{3}^{2}+2．{5}^{2}}=\frac{\sqrt{61}}{2}$，所以AE+AF=$2.5+\frac{\sqrt{61}}{2}=\frac{5+\sqrt{61}}{2}$，
故答案为：$\frac{5+\sqrt{61}}{2}$；
（2）如图，

首先确定E点，要使AE+AF最小，根据三角形两边之和大于第三边可知，需要将AF移到AE的延长线上，因此可以构造全等三角形，首先选择格点H使∠HBC=∠ADB，其次需要构造长度BP使BP=AD=4，根据勾股定理可知BH=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，结合相似三角形选出格点K，根据$\frac{HK}{BC}=\frac{HP}{BP}=\frac{1}{4}$，得BP=$\frac{4}{5}$BH=$\frac{4}{5}×5$=4=DA，易证△ADF≌△PBE，因此可得到PE=AF，线段AP即为所求的AE+AF的最小值；同理可确定F点，因为AB⊥BC，因此首先确定格点M使DM⊥DB，其次确定格点G使DG=AB=3，此时需要先确定格点N，同样根据相似三角形性质得到$\frac{NM}{DC}=\frac{MG}{DG}=\frac{2}{3}$，得DG=$\frac{3}{5}$DM=$\frac{3}{5}$×5=3，易证△DFG≌△BEA，因此可得到AE=GF，故线段AG即为所求的AE+AF的最小值．
故答案为：取格点H，K，连接BH，CK，相交于点P，连接AP，与BC相交，得点E，取格点M，N连接DM，CN，相交于点G，连接AG，与BD相交，得点F，线段AE，AF即为所求．

点评 此题考查最短路径问题，关键是根据轴对称的性质进行分析解答．