Question

20．如图，点E为正方形ABCD的边BC延长线上一点，BF⊥DE于点F，交CD边于点G．
（1）求证：BG=DE；
（2）若F是DE的中点，且DE=4，求△DCE的面积．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出BC=DC，∠BCD=90°，证出∠CBG=∠CDE，由ASA证明△BCG≌△DCE，得出对应边的即可；
（2）连接BD，作CH⊥DE于H，先求出∠E=67.5°，再根据直角三角形斜边上的中线性质得出CF=EF，证得△CHF为等腰直角三角形，求出CH的长，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCD=90°，
∴∠DCE=90°，
∴∠CDE+∠E=90°，
∵BF⊥DE，
∴∠BFE=90°，
∴∠CBG+∠E=90°，
∴∠CBG=∠CDE，
在△BCG和△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CBG=∠CDE}\\{BC=DC}\\{∠BCG=∠DCE=90°}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△DCE（ASA），
∴BG=DE；
（2）解：连接BD，作CH⊥DE于H，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴CBD=45°，
∵F是DE的中点，BF⊥DE，
∴BE=BD，CF=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{1}{2}$×4=2，
∴∠E=$\frac{1}{2}$（180°-45°）=67.5°，∠FCE=∠E=67.5°，
∴∠CFE=180°-67.5°-67.5°=45°，
∴△CHF为等腰直角三角形，
∴CH=$\frac{CF}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×2=$\sqrt{2}$，
∴S_△DCE=$\frac{1}{2}$CH•DE=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×4=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及直角三角形斜边上的中线性质；证明三角形全等和等腰三角形是解决问题的关键．