Question

5．【定理表述】
请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）；
【尝试证明】
以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；
【知识拓展】
利用图2中的直角梯形，我们可以证明$\frac{a+b}{c}$＜$\sqrt{2}$．其证明步骤如下：
∵BC=a+b，AD=$\sqrt{2}$c．
又∵在直角梯形ABCD中有BC＜AD（填大小关系），即a+b＜$\sqrt{2}$c，
∴$\frac{a+b}{c}$＜$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 【尝试证明】利用S_梯形ABCD=S_Rt△ABE+S_Rt△DEC+S_Rt△AED进行证明即可；
【知识拓展】在直角梯形ABCD中，BC＜AD，由于已证△AED是直角三角形，那么利用勾股定理有AD=$\sqrt{2}$c，从而可证$\frac{a+b}{c}$＜$\sqrt{2}$．

解答 解：【定理表述】如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a²+b²=c²．
【尝试证明】
∵Rt△ABE≌Rt△ECD，
∴∠AEB=∠EDC，
又∵∠EDC+∠DEC=90°，
∴∠AEB+∠DEC=90°，
∴∠AED=90°．
∵S_梯形ABCD=S_Rt△ABE+S_Rt△DEC+S_Rt△AED，
∴$\frac{1}{2}$（a+b）（a+b）=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²，
整理，得a²+b²=c²．
【知识拓展】
∵AD=$\sqrt{2}$c，BC＜AD，
∴a+b＜$\sqrt{2}$c，即$\frac{a+b}{c}$＜$\sqrt{2}$，
故答案为：$\sqrt{2}$c，＜，a+b＜$\sqrt{2}$c

点评 本题考查了勾股定理的证明，本题利用了全等三角形的判定和性质、面积分割法、勾股定理等知识．