Question

如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD的过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB．
（1）求证：DC为⊙O的切线；
（2）若∠BAC=30°，AD=3，求AC的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）连接CO，根据角之间的关系证明∠DAC=∠OCA，进而得到CO∥AD，从而可得CO⊥CD，即DC为⊙O的切线；
（2）根据∠BAC=30°，可得∠DAC=30°，再根据三角函数可算出AC的长．

解答：（1）证明：连接CO，
∵AO=CO，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠DAB，
∴∠OAC=∠DAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴CO∥AD，
∴CO⊥CD，
∴DC为⊙O的切线；

（2）解：∵∠BAC=30°，
∴∠DAC=30°，
∵AD=3，
∴AC=AD÷cos30°=2

3

．

点评：此题主要考查了切线的判定与三角函数的应用，关键是掌握切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．