Question

8．已知4x²+y²-4x-6y+10=0，求（$\frac{2}{3}$x$\sqrt{9x}$+y²$\sqrt{\frac{x}{{y}^{2}}}$）-（x²$\sqrt{\frac{1}{x}}$-5x$\sqrt{\frac{y}{x}}$）的值．

Answer 1

分析 先利用配方法得到（2x-1）²+（y-3）²=0，再利用非负数的性质得x=$\frac{1}{2}$，y=3，接着把原式中的各二次根式化为最简二次根式，然后合并后把x和y的值代入计算即可．

解答 解：∵4x²+y²-4x-6y+10=0，
∴4x²-4x+1+y²-6y+9=0，
∴（2x-1）²+（y-3）²=0，
∴2x-1=0，y-3=0，
∴x=$\frac{1}{2}$，y=3，
原式=2x$\sqrt{x}$+y$\sqrt{x}$-x$\sqrt{x}$+5$\sqrt{xy}$
=（x+y）$\sqrt{x}$+5$\sqrt{xy}$，
当x=$\frac{1}{2}$，y=3时，原式=（$\frac{1}{2}$+3）×$\sqrt{\frac{1}{2}}$+5×$\sqrt{\frac{1}{2}×3}$
=$\frac{7\sqrt{2}}{4}$+$\frac{5\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．也考查了非负数的性质．