Question

6．若c为正整数，且a+b=c，b+c=d，d+a=b，则（a+b）（b+c）（c+d）（d+a）的最小值为24．

Answer 1

分析 将a+b=c，b+c=d，d+a=b利用等式的基本性质变形成a=-c、b=2c、d=3c，从而得（a+b）（b+c）（c+d）（d+a）=24c⁴，根据c为正整数即c最小为1可得答案．

解答 解：a+b=c ①，b+c=d ②，d+a=b ③，
由③得：b-a=d ④，
由②-④得：c+a=0，a=-c ⑤，
把⑤代入①得：-c+b=c，b=2c ⑥，
把⑥代入②得：2c+c=d，d=3c，
∵c为正整数，
∴c最小为1．
∴（a+b）（b+c）（c+d）（d+a）
=（-c+2c）（2c+c）（c+3c）（3c-c）
=（-1+2）×（2+1）×（1+3）×（3-1）
=24，
即（a+b）（b+c）（c+d）（d+a）的最小值为24，
故答案为：24．

点评 本题主要考查有理数的运算、等式的基本性质，根据已知等式变形成a、b、d全部用同一个字母c来表示是解题的关键．