Question

11．如图，在同心⊙O中，大圆的半径为5，大圆的弦AB与小圆交于CD，AB=8，CD=3．
（1）求AC的长；
（2）求小圆的半径．

Answer 1

分析 （1）过O作OH⊥AB于H，根据垂径定理求出AH=BH、CH=DH，即可求出答案；
（2）连接OA、OD，根据勾股定理求出OH，根据勾股定理求出OD即可．

解答 解：（1）

过O作OH⊥AB于H，
∵OH过O，OH⊥AB，AB=8，CD=3，
∴AH=BH=4，CH=DH=$\frac{3}{2}$，
∴AC=BD=$\frac{1}{2}$（AB-CD）=$\frac{5}{2}$；

（2）连接OA和OD，

∵OA=5，AH=4，
∴由勾股定理得：OH=3，
∵HD=$\frac{3}{2}$，
∴由勾股定理得：OD=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
即小圆的半径为$\frac{3\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查了勾股定理和垂径定理，能灵活运用垂径定理进行推理是解此题的关键．