Question

如图，在正方形ABCD中，AB=4，点P为线段DC上的一个动点．设DP=x，由点A，B，C，P首尾顺次相接形成图形的面积为y．
（1）求y关于x的函数表达式及x的取值范围；
（2）设（1）中函数图象的两个端点分别为M、N，且P为第一象限内位于直线MN右侧的一个动点，若△MNP正好构成一个等腰直角三角形，请求出满足条件的P点坐标；
（3）在（2）的条件下，若l为经过（-1，0）且垂直于x轴的直线，Q为l上的一个动点，使得S_△MNQ=S_△NMP，请直接写出符合条件的点Q的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）根据梯形的面积公式，可得函数解析式，根据线段的和差，可得x的取值范围；
（2）根据等腰直角三角形的关系，可得方程组，根据解方程组，可得答案；
（3）根据等底等高的三角形面积相等，可得CD的长，根据勾股定理，可得方程组，根据解方程组，可得C点坐标．

解答：解：（1）由线段的和差，得PC=（4-x），
由梯形的面积公式，得y=-2x+16
x的取值范围是0＜x＜4；
（2）设P点坐标是（a，b），M（0，16），N（4，8），
由△MNP正好构成一个等腰直角三角形，得

(a-4)2+(b-8)2=42+(8-16)2① a2+(b-16)2=2[+(8-16)2]②

，化简，得
a=12-2b  ③．
把③代入①得
5b²-48b+48=0．解得b=

24+4 21

5

，b=

24-4 21

5

（不符合题意要舍去），
a=12-2×

24+4 21

5

=

72-8 21

5

，
P点坐标是（

72-8 21

5

，

24+4 21

5

）
（3）由S_△MNQ=S_△NMP，得
CD=PN=4

5

．
过点C作CD⊥MN与D点，

设点C的坐标为（-1，b），设ND=x，MD=4

5

+x，
由勾股定理，得
NC²-CD²=ND²，即（-1-4）²+（b-8）²-80=x²①，
MC²-CD²=MD²，即（-1）²+（b-16）²-80=（4

5

+x）²②，
②-①，得x=

11-2b

5

，
把x=

11-2b

5

代入①，得
b²-36b-76=0．解得b=38，b=-2，
C点坐标是（-1，-2），（-1，38）．

点评：本题考查了一次函数综合题，（1）利用了梯形的面积公式，（2）利用等腰直角三角形的性质得出方程组是解题关键，（3）利用等底等高的三角形面积相等得出CD的长是解题关键．