Question

如图，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD=6时，BC边上存在一点Q，使∠EQF=90°，求此时BQ的长．

Answer 1

考点：直角三角形斜边上的中线,三角形中位线定理

专题：

分析：根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EF，再判断出EF到BC的距离等于EF的一半，取EF的中点O，过点O作OQ⊥BC与Q，根据等腰直角三角形的性质，点Q即为所求的点，过点E作EG⊥BC于G，先求出EG，GQ，再解直角三角形求出BG，然后根据BQ=BG+GQ计算即可得解．

解答：解：∵E、F分别为边AB、AC的中点，
∴EF∥BC，EF=

1

2

BC，
∵BC=12，
∴EF=6，
取EF的中点O，过点O作OQ⊥BC与Q，过点E作EG⊥BC于G，
∵AD是BC边上的高，AD=6，
∴OQ=EG=

1

2

×6=3，
∴点Q即为所求的使∠EQF=90°的点，
∵EF∥BC，EG∥OQ，OE=OQ=3，
∴四边形OEQG是正方形，
∴GQ=OQ=3，
∵点E是AB的中点，
∴EG是△ABD的中位线，
∴EG=

1

2

AD=3，
∵∠ABC=60°，
∴BG=

3

3

EG=

3

3

×3=

3

，
∴BQ=BG+GQ=3+

3

．

点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，解直角三角形，正方形的判定与性质，熟记定理并作辅助线构造出直角三角形和正方形是解题的关键．