Question

7．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，CM是∠BCD的平分线，且CM⊥AB，M为垂足，AM=$\frac{1}{3}$AB．若四边形ABCD的面积为$\frac{15}{7}$，则四边形AMCD的面积是1．

Answer 1

分析 延长BA、CD，交点为E．依据题意可知MB=ME．然后证明△EAD∽△EBC．依据相似三角形的性质可求得△EAD和△EBC的面积，最后依据S_{四边形AMCD}=$\frac{1}{2}$S_△EBC-S_△EAD求解即可．

解答 解：如图所示：延长BA、CD，交点为E．

∵CM平分∠BCD，CM⊥AB，
∴MB=ME．
又∵AM=$\frac{1}{3}$AB，
∴AE=$\frac{1}{3}$AB．
∴AE=$\frac{1}{4}$BE．
∵AD∥BC，
∴△EAD∽△EBC．
∴$\frac{{S}_{△EAD}}{{S}_{△EBC}}$=$\frac{1}{16}$．
∴S_{四边形ADBC}=$\frac{15}{16}$S_△EBC=$\frac{15}{7}$．
∴S_△EBC=$\frac{16}{7}$．
∴S_△EAD=$\frac{16}{7}$×$\frac{1}{16}$=$\frac{1}{7}$．
∴S_{四边形AMCD}=$\frac{1}{2}$S_△EBC-S_△EAD=$\frac{8}{7}$-$\frac{1}{7}$=1．
故答案为：1．

点评 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．