Question

如图，直角三角形ABC中，D是斜边AB的中点，MB⊥AB，MD交AC于N；MC的延长线交AB于E．证明：∠DBN=∠BCE．

Answer 1

考点：四点共圆

专题：证明题

分析：首先延长ME交△ABC的外接圆于F，延长MD交AF于K，作CG∥MK，交AF于G，交AB于P，作DH⊥CF于H，连接HB、HP，得出点D、H、B、M共圆，进而得出即PH为△CFG的中位线，AP为△ACG的边CG上的中线，得出四边形NAKB为平行四边形，则∠DBN=∠DAK，而∠DAK=∠BAF=∠BCF=∠BCE，即可得出答案．

解答：证明：如图，延长ME交△ABC的外接圆于F，延长MD交AF于K，作CG∥MK，交AF于G，交AB于P，作DH⊥CF于H，
则H为CF的中点，
连接HB、HP，则点D、H、B、M共圆，
故∠HBD=∠HMD=∠HCP，于是H、B、C、P共圆，
∴∠PHC=∠ABC=∠AFC，故PH∥AF，
即PH为△CFG的中位线，P是CG的中点，
则AP为△ACG的边CG上的中线，
又∵NK∥CG，
故D是NK的中点，即线段AB与NK互相平分，
∴四边形NAKB为平行四边形，
∴∠DBN=∠DAK，而∠DAK=∠BAF=∠BCF=∠BCE，
即有∠DBN=∠BCE．

点评：此题主要考查了四点共圆以及平行四边形的判定与性质以及三角形中位线的性质与判定，作出正确辅助线，利用四点共圆的性质得出是解题关键．