Question

（1）讨论关于x的方程|x+1|+|x+2|+|x+3|=a的根的个数．
（2）设a₁，a₂，…，a_n为等差数列，且|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=|a₁+1|+|a₂+1|+…+|a_n+1|=|a₁-2|+|a₂-2|+…+|a_n-2|=507，求项数n的最大值．

Answer 1

考点：绝对值

专题：

分析：（1）分别利用当a＜2时，当a=2时，当a＞2时，求出即可；
（2）根据方程|x|=|x+1|=|x-2|无解，得出n≥2且公差不为0． 不妨设数列的各项为a-kd（1≤k≤n，d＞0），作函数f （x）=

n

k=1

|x=kd|，本题条件等价于f （x）=507至少有三个不同的根a，a+1，a-2，此条件又等价于函数y=f （x）的图象与水准直线y=507至少有三个不同的公共点，进而结合图象得出．

解答：解：（1）根据函数y=|x+1|+|x+2|+|x+3|=a的图象可知：
当a＜2时，方程无解；
当a=2时，方程有一个根；
当a＞2时，方程有两个根．

（2）因为方程|x|=|x+1|=|x-2|无解，故n≥2且公差不为0． 不妨设数列的各项为a-kd（1≤k≤n，d＞0）．
作函数f （x）=

n

k=1

|x=kd|，
本题条件等价于f （x）=507至少有三个不同的根a，a+1，a-2，此条件又等价于函数y=f （x）的图象与水准直线y=507至少有三个不同的公共点．
由于y=f （x）的图象是关于直线y=

(n+1)d

2

左右对称的n+1段的下凸折线，它与水准直线L有三个公共点当且仅当折线有一水准段在L上，
当且仅当n=2m且a，a+1，a-2∈[md，（m+1）d]，f （md）=507．即d≥3且m²d=507．
由此得 m²≤

507

3

，解得：m≤13，
显然，m=13时，取d=3，a=4满足本题条件． 
因此，n的最大值为26．

点评：此题主要考查了绝对值综合，利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键．