Question

【题目】如图，中，，在上截取，为上一点，且，过点作的垂线，分别交、于、，连接交于。

（1）若为的中点，，求的长；

（2）求证：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）解解析.

【解析】

（1）先证明△ABC为等边三角形，得到AB=BD=4，进而求得BE=2，在Rt△EBF中，∠EBF=60°，得到∠BEF=30°，求出BF=BE=1．再利用勾股定理即可解答；

（2）取FM=BF，由EF⊥BM，BF=FM，知BE=EM=CD，再证明△EMH≌△CDH，得到DH=HM，从而FH=FM+MH=BF+DH=BE+DH．

（1）∵∠A=60°，AD=AB，

∴△ABC为等边三角形，

∴AB=BD=4，

∵E为AB的中点，

∴BE=2，

在Rt△EBF中，∠EBF=60°，

∴∠BEF=30°

∴BF=BE=1．

∴EF=．

（2）如图，取FM=BF，由EF⊥BM，BF=FM，知BE=EM=CD，

又∵∠BEF=∠FEM=30°，

∴∠BEM=∠A=60°，

∴EM∥AC，

∴∠MEH=∠HCD，∠EHM=∠CHD，

在△EMH和△CDH中，

，

∴△EMH≌△CDH，

∴DH=HM，

∴FH=FM+MH=BF+DH=BE+DH．