Question

【题目】如图，矩形的一边落在矩形的一边上，并且矩形，其相似比为，连接、．

试探究、的位置关系，并说明理由；

将矩形绕着点按顺时针（或逆时针）旋转任意角度，得到图形、图形，请你通过观察、分析、判断中得到的结论是否能成立，并选取图证明你的判断；

在中，矩形绕着点旋转过程中，连接、、，且，，，的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) ，理由详见解析；（2）仍然成立，理由详见解析；（3）的面积是否存在最大值与最小值，，．

【解析】

（1）由矩形CEFG～矩形CDAB可以得出∠BCD=∠DCE=90°，，从而可以得到△BCG∽△DCE，再利用角相等通过代换就可以得出结论；

（2）由条件可以得出证明△BCG∽△DCE，再利用角相等通过代换就可以得出结论；

（3）矩形CEFG绕着点C旋转一周，点F的轨迹是以点C为圆心以为半径的圆，所以△BDF的BD边上的高就是点F到BD的距离，也就是BD到圆上的点的距离，有最大值和最小值，最大值为点C到BD的距离与圆的半径的和，最小值为点C到BD的距离与圆的半径的差，再利用三角形的面积公式求解即可．

（1），理由如下：

如图，∵矩形矩形，

∴，，

∴，

∴．

延长交于．

又∵，

∴，

∴；

（2）仍然成立，理由如下：

如图，∵矩形矩形，

∴，，

∴，

∴，

∴，

又∵，，

∴，

∴，

∴；

（3）的面积是否存在最大值与最小值．理由如下：

∵矩形，其相似比，，

∴，

∴点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆．

设点到的距离为，

∴，

解得，

∴当点到的距离为时，的面积有最大值，

当点到的距离为时，的面积有最小值，

，

．