Question

13．如图，在半径为6 cm的⊙O中，点A是劣弧$\widehat{BC}$的中点，点D是优弧$\widehat{BDC}$上一点，且∠D=30°，下列四个结论：①OA⊥BC；②BC=3$\sqrt{3}{cm}$；③∠AOB=60°；④四边形ABOC是菱形，其中正确结论的序号是①③④．

Answer 1

分析 利用垂径定理可对①进行判断；根据圆周角定理得到∠AOC=2∠D=60°，则△OAC为等边三角形，根据等边三角形的性质和垂径定理可计算出BC=6$\sqrt{3}$，则可对②进行判断；通过判断△AOB为等边三角形可对③进行判断；利用AB=AC=OA=OC=OB可对④进行判断．

解答 解：∵点A是劣弧$\widehat{BC}$的中点，
∴OA⊥BC，所以①正确；
∵∠AOC=2∠D=60°，
而OA=OC，
∴△OAC为等边三角形，
∴BC=2×6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6$\sqrt{3}$，所以②错误；
同理可得△AOB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，所以③正确；
∵AB=AC=OA=OC=OB，
∴四边形ABOC是菱形，所以④正确．
故答案为①③④．

点评 本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．