Question

14．如图，矩形ABCD的四个顶点正好落在四条平行线上，并且从上到下每两条平行线间的距离都是1，如果AB：BC=3：4，那么AB的长是$\frac{\sqrt{73}}{4}$．

Answer 1

分析 作辅助线，构建相似三角形，证明△ABE∽△BCF，列比例式求BE的长，利用勾股定理可以求AB的长．

解答 解：过A作AE⊥BM于E，过C作CF⊥BM于F，则CF=1，AE=2，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠CBE=90°，
∴∠BAE=∠CBE，
∴△ABE∽△BCF，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{BE}{CF}$，
∴$\frac{3}{4}=\frac{BE}{1}$，
∴BE=$\frac{3}{4}$，
在Rt△ABE中，AB=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{3}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{73}}{4}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{73}}{4}$．

点评 本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、两平行线的距离以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．