Question

如图是一个多边形，求∠A₁+∠A₂+∠A₃+…+∠A₂₃+∠A₂₄的度数．

Answer 1

考点：多边形内角与外角,三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：延长A₁A₂，交A₄A₅延长线于点B，连接A₁A₄，先求出∠1+∠2=∠3+∠4，再由∠1=∠A₂+∠A₃，∠2=∠A₄+∠A₅，得出∠3+∠4=∠A₂+∠A₃+∠A₄+∠A₅，因此∠A₁+∠A₂+∠A₃+∠A₄+∠A₅+∠A₆=∠A₂₄A₁A₆+∠A₁A₆A₉，同理得出其余，所求角的和恰好是八边形的内角和，即可得出结果．

解答：解：延长A₁A₂，交A₄A₅延长线于点B，连接A₁A₄，…，如图所示：
∴∠1+∠2=180°-∠B，∠3+∠4=180°-∠B，
∴∠1+∠2=∠3+∠4，
又∵∠1=∠A₂+∠A₃，∠2=∠A₄+∠A₅，
∴∠3+∠4=∠A₂+∠A₃+∠A₄+∠A₅，
∴∠A₁+∠A₂+∠A₃+∠A₄+∠A₅+∠A₆=∠A₂₄A₁A₆+∠A₁A₆A₉，
其余同理可得，
∴∠A₁+∠A₂+∠A₃+…+∠A₂₄就是上述八边形内角和，
即（8-2）×180°=1080°．

点评：本题考查了三角形内角和、多边形内角和以及外角的性质；本题有一定的难度，通过作辅助线解决问题．