Question

已知，等腰直角三角形ABC，∠C=90°，CA=CB，直线MN⊥直线PQ，垂足为O，

进行如下操作，探究：
（1）将直角三角形ABC按①中方式放置，D是射线OM上一点，连结BD，过A点作AH⊥BD于点H，交OB于点E，
求证：OE=OD；

（2）将直角三角形ABC按②中方式放置，点A在OM上，点C在OP上，BC交MN于点F，过点B作BG⊥MN，若AF恰好平分∠CAB，猜想BG与AF之间有怎样的数量关系，并证明；
（3）将直角三角形ABC按③中方式放置，若OA=5，点C在射线OP上运动，作IC⊥OC且IC=OC，连结BI，交PQ于K，当点C运动时，KC的长是否发生改变？若变化求出KC长度的范围，若不变求KC的长．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）运用AAS公理，证明△AOE≌△BOD，即可解决问题．
（2）如图，作辅助线；类比（1）中的方法证明AF=BR；然后证明BG=RG，即可解决问题．
（3）如图，作辅助线；首先证明BR=OC，进而得到IC=BR；证明RK=KC，即可解决问题．

解答：（1）证明：如图①，
∵AH⊥BD，AO⊥OE
∴∠ODB+∠DAH
=∠OEA+∠DAH，
∴∠ODB=∠OEA，
在△AOE与△BOD中，

∠AOE=∠BOD ∠OEA=∠ODB AO=BO

，
∴△AOE≌△BOD（AAS），
∴OE=OD．
（2）如图②，分别延长AC、BG，交于点R；
类比（1）中的方法，同理可证△AGF≌△BGR，
∴AF=BR；
在△AGR与△AGB中，

∠RAG=∠BAG AG=AG ∠AGR=∠AGB

，
∴△AGR≌△AGB（ASA），
∴BG=GR，
∴AF=BR=2BG．
（3）KC的长度不变；理由如下：如图③，过点B作BR⊥CP于点R；
∵∠BRC=∠ACB=∠AOC=90°，
∴∠RBC+∠BCR=∠BCR+∠ACO，
∴∠RBC=∠ACO；
在△RBC与△OCA中，

∠RBC=∠ACO ∠BRC=∠AOC BC=AC

，
∴△RBC≌△OCA（AAS），
∴BR=OC，RC=OA；而IC=OC，
∴BR=IC；而BR∥IC，
∴△BRK∽△ICK，
∴

BR

IC

=

RK

KC

=1，
∴RK=KC，KC=

1

2

RC=

1

2

OA为定值，不变．

点评：该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用全等三角形的判定及其性质等来分析、判断、推理或解答．