Question

4．如图（1），在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（-1，0），（3，0），将线段AB先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到线段CD，连接AC，BD．
（1）求点C，D的坐标及S_{四边形ABDC}；
（2）点Q在y轴上，且S_△QAB=S_{四边形ABDC}，求出点Q的坐标；
（3）如图（2），点P是线段BD上任意一个点（不与B、D重合），连接PC、PO，试探索∠DCP、∠CPO、∠BOP之间的关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据平移直接得到点C，D坐标，用面积公式计算；
（2）设出Q的坐标，OQ=|m|，用S_△QAB=S_{四边形ABDC}建立方程，解方程即可；
（3）作出辅助线，平行线，用两直线平行，内错角相等，即可．

解答 解：（1）∵线段AB先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到线段CD，
且（-1，0），B（3，0），
∴C（0，2），D（4，2）；
∵AB=4，OC=2，
∴S_{四边形ABDC}=AB×OC=8；
（2）∵点Q在y轴上，设Q（0，m），
∴OQ=|m|，
∴S_△QAB=$\frac{1}{2}$×AB×OQ=$\frac{1}{2}$×4×|m|=2|m|，
∵S_{四边形ABDC}=8，
∴2|m|=8，
∴m=4或m=-4，
∴Q（0，4）或Q（0，-4）．
（3）如图，

∵线段CD是线段AB平移得到，
∴CD∥AB，
作PE∥AB，
∴CD∥PE，
∴∠CPE=∠DCP，
∵PE∥AB，
∴∠OPE=∠BOP，
∴∠CPO=∠CPE+∠OPE=∠DCP+∠BOP，
∴∠CPO=∠DCP+∠BOP．

点评 此题是几何变换综合题，主要考查了平移得性质，计算三角形面积的方法，平行线的判定和性质，解本题的关键用面积建立方程或计算，作出辅助线是解本题的难点．