Question

16．如图，在?ABCD中，BC=2AB，E，F分别是BC，AD的中点，AE，BF交于点O，连接EF，OC．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若BC=8，∠ABC=60°，求OC的长．

Answer 1

分析 （1）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；
（2）过点O作OG⊥BC于点G．分别在Rt△OEG，Rt△OCG中解直角三角形即可；

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，BC=AD．
∵E，F分别是BC，AD的中点，
∴$BE=\frac{1}{2}BC，AF=\frac{1}{2}AD$．
∴BE=AF．
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵BC=2AB，
∴AB=BE．
∴平行四边形ABEF是菱形．

（2）解：过点O作OG⊥BC于点G．

∵E是BC的中点，BC=8，
∴BE=CE=4．
∵四边形ABEF是菱形，∠ABC=60°，
∴∠OBE=30°，∠BOE=90°．
∴OE=2，∠OEB=60°．
∴GE=1，OG=$\sqrt{3}$．
∴GC=5．
∴OC=$2\sqrt{7}$．

点评 本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、解直角三角形、拯救世界30度角性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．