Question

如图，⊙O的半径是4，PA、PB分别与⊙O相切于点A、点B，若PA与PB之间的夹角∠APB=60°，
（1）若点C是圆上的一点，试求∠ACB的大小；
（2）求△ABP的周长．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）根据切线性质得出∠PAO=∠PBO=90°，求出∠AOB，根据圆周角定理求出即可；
（2）连接OP，求出△APB是等边三角形，∠APO=30°，求出OP，求出AP，即可求出答案．

解答：解：（1）∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、点B，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠APB=60°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-60°=120°，
当C在优弧AB上时，∠ACB=

1

2

∠AOB=60°，
当C在劣弧AB上时，∠ACB=180°-60°=120°；

（2）
连接OP，
∵PA、PB分别与⊙O相切于点A、点B，∠APB=60°，
∴PA=PB，∠APO=

1

2

∠APB=30°，
∴△APB是等边三角形，
∴PA=AB=PB，
∵∠PAO=90°，∠APO=30°，OA=4，
∴OP=2AO=8，由勾股定理得：AP=4

3

，
∴△ABP的周长是AP+AB+BP=3×4

3

=12

3

．

点评：本题考查了圆周角定理，直角三角形性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理的应用，综合性比较强，有一定的难度，是一道比较常见的题目．