题目内容

18．进价为每件30元的某商品，销售价为每件40元时，平均每月能售出800件，每件商品的售价每上涨1元，每月就少卖10件；设每件涨价为x元，每月销售量为y元．
（1）求y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少元？
（3）当每件商品的售价不高于80元时，定价为多少元使得每个月的利润不低于1800元？并求此时每月的最低成本．

分析 （1）根据单件利润×销售量=总利润列出函数关系式；
（2）将（1）中函数解析式配方后可得其最值情况；
（3）根据题意列出不等式，解之可得x的范围，再列出总成本的函数解析式，根据一次函数性质结合x的范围可得最小值．

解答 解：（1）设每件涨价为x元，每月销售量为y元，
则y=（40+x-30）（800-10x）=-10x2+700x+8000，（0≤x≤80）；

（2）∵y=-10x2+700x+8000=-10（x-35）2+20250，
∴当x=35时，y最大值=20250，
答：每件商品的售价定为75元时，每个月可获得最大利润，最大利润是20250元；

（3）根据题意，得：$\left\{\begin{array}{l}{40+x≤80}\\{-10{x}^{2}+700x+8000≥1800}\end{array}\right.$，
解得：0≤x≤40，
此时的成本w=30（800-10x）=-300x+24000，
当x=40时，y最小=12000，
答：当定价为30～80元时，每个月的利润不低于1800元，此时每月的最低成本为12000元．

点评 本题主要考查二次函数的实际应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系是解题的关键．

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