题目内容
设ω是一个平面图形,如果用直尺和圆规经过有限步作图(简称尺规作图),画出一个正方形与ω的面积相等(简称等积),那么这样的等积转化称为ω的“化方”.
⑴阅读填空
如图①,已知矩形ABCD,延长AD到E,使DE=DC,以AE为直径作半圆.延长CD交半圆于点H,以DH为边作正方形DFGH,则正方形DFGH与矩形ABCD等积.
理由:连接AH,EH.
∵ AE为直径 ∴ ∠AHE=90° ∴ ∠HAE+∠HEA=90°.
∵ DH⊥AE ∴ ∠ADH=∠EDH=90°
∴ ∠HAD+∠AHD=90°
∴ ∠AHD=∠HED ∴ △ADH∽_____________.
∴
,即
=AD×DE.
又∵ DE=DC ∴
=____________,即正方形DFGH与矩形ABCD等积.
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⑵操作实践
平行四边形的“化方”思路是,先把平行四边形转化为等积的矩形,再把矩形转化为等积的正方形.
如图②,请用尺规作图作出与□ABCD等积的矩形(不要求写具体作法,保留作图痕迹).
⑶解决问题
三角形的“化方”思路是:先把三角形转化为等积的_________________(填写图形名称),再转化为等积的正方形.
如图③,△ABC的顶点在正方形网格的格点上,请作出与△ABC等积的正方形的一条边(不要求写具体作法,保留作图痕迹,不通过计算△ABC面积作图).
⑷拓展探究
n边形(n>3)的“化方”思路之一是:把n边形转化为等积的n-1边形,…,直至转化为等积的三角形,从而可以化方.
如图④,四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上,请作出与四边形ABCD等积的三角形(不要求写具体作法,保留作图痕迹,不通过计算四边形ABCD面积作图).
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下列计算正确的是( )
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| A. |
| B. | 3﹣1=﹣3 | C. | (a4)2=a8 | D. | a6÷a2=a3 |