Question

20．如图，已知直线y=-$\frac{1}{2}$x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c经过A，B两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点C，E从原点O同时出发，C以每秒1个单位长度的速度沿OB方向运动，E以每秒2个单位长度的速度沿OA方向运动，运动时间是t秒（0＜t＜2）．过E点作DE⊥OA交AB于D，C关于DE的对称点为F，连接CD，CE，FD，FE，四边形CDEF与△ABO重叠部分的面积为S．
①求S与t的函数关系式；
②当△BCD为直角三角形时，直接写出t的值．

Answer 1

分析 （1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）①分类讨论：0＜t≤$\frac{2}{3}$时，根据三角形的面积公式，可得答案；当$\frac{2}{3}$＜t＜2时，根据面积的和差，可得答案；
②当∠BCD=90°时根据CD的纵坐标相等，可得关于t的方程，根据解方程，可得答案；当∠CDB=90°时，根据相似三角形的判定与性质，可得关于t的方程，可得答案．

解答 解：（1）当x=0时，y=2，即B（0，2），
当y=0时，x=4，即A（4，0）．
将A、B点代入抛物线的解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}×{4}^{2}+4b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；
（2）如图1：，
①F（4t，t），
当F在AB上时，t=-$\frac{1}{2}$×4t+2，
解得t=$\frac{2}{3}$；
当0＜t≤$\frac{2}{3}$时，S=$\frac{1}{2}$×4t×（-$\frac{1}{2}$×2t+2）=-2t²+4t；
当$\frac{2}{3}$＜t＜2时，S=S_△CDE+S_△IDE，
S_△CDE=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}$×2t+2）×2t=-t²+2t．
S_△IDE=$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{2}$×2t+2）×IH．
∵$\frac{IH}{DH}$=$\frac{IH}{EH}$=$\frac{4}{2}$=2，
∴IH=DE=-$\frac{1}{2}$×2t+2，
S_△IDE=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{2}$×2t+2）²=$\frac{1}{2}$t²-2t+2，
S=-t²+2t+$\frac{1}{2}$t²-2t+2=-$\frac{1}{2}$t²+2；
②如图2：，
　当∠BCD=90°时，C、D的纵坐标相等，即
-$\frac{1}{2}$×2t+2=t，
解得t=1；
当∠CDB=90°时，如图3：，
G（2t，2），D（2t，2-t），H（2t，2-2t），
$\frac{DG}{CH}$=$\frac{BG}{DH}$，即$\frac{t}{2t}$=$\frac{2t}{2-2t}$，
化简，得6t²-2t=0，
解得t=$\frac{1}{3}$，t=0（不符合题意的解要舍去）．
综上所述：t=1或t=$\frac{1}{3}$，△BCD为直角三角形．

点评 本题考查了二次函数的综合题，（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）①要分类讨论，以防遗漏，利用面积的和差是解题关键；②利用了相似三角形的判定与性质．