Question

4．如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，过点A作AE∥BC与AB的平行线DE交于点E，DE与AC相交于点O，连接EC．
（1）求证：AD∥EC；
（2）当△ABC满足条件∠BAC=90°时，四边形ADCE是菱形，请补充条件并证明．

Answer 1

分析 （1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形ABDE是平行四边形，进而可得AE=DB，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ADCE是平行四边形，进而可得AD∥EC；
（2）添加∠BAC=90°，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得AD=$\frac{1}{2}$BC，然后证明AD=CD可得四边形ADCE是菱形．

解答 证明：（1）∵AE∥BC，AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE=BD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
∴AE=DC，
∵AE∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴AD∥EC；

（2）添加∠BAC=90°，
∵AD是△ABC的中线，
∴AD=DC=$\frac{1}{2}$BC，
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴四边形ADCE是菱形．

点评 此题主要考查了菱形的判定，以及平行四边形的判定和性质，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．