Question

8．如图，抛物线y=x²-2x+c的顶点A在直线l：y=x-5上．
（1）求抛物线顶点A的坐标；
（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；
（3）求出点C到直线BD的距离．

Answer 1

分析 （1）先根据抛物线的解析式得出其对称轴，由此得到顶点A的横坐标，然后代入直线l的解析式中求出点A的纵坐标即可，
（2）先由抛物线的解析式得到点B的坐标，再求出AB、AD、BD三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可确定△ABD是直角三角形；
（3）连接BC，过点C作CE⊥BD，易求△BCD的面积，由（2）可知BD的长，进而可求出CE的长，即点C到直线BD的距离．

解答 解：（1）∵y=x²-2x+c，
∴顶点A的横坐标为x=-$\frac{-2}{2}$=1，
又∵顶点A在直线y=x-5上，
∴当x=1时，y=1-5=-4，
∴点A的坐标为（1，-4）；
（2）△ABD是直角三角形．理由如下：
∵抛物线y=x²-2x-3与y轴交于点B，
∴B（0，-3）．
当y=0时，x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴C（-1，0），D（3，0）．
∵BD²=OB²+OD²=18，AB²=（4-3）²+1²=2，AD²=（3-1）²+4²=20，
∴BD²+AB²=AD²，
∴∠ABD=90°，
即△ABD是直角三角形；
（3）连接BC，过点C作CE⊥BD，
∵OC=1，OD=3，
∴CD=4，
∵OB=3，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$CD•OB=6，
∵BD=$\sqrt{18}$=3$\sqrt{2}$，
∵$\frac{CE•BD}{2}$=6，
∴CE=$\frac{12}{BD}=\frac{12}{3\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，
即点C到直线BD的距离是2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了二次函数的性质、运用待定系数法确定其解析式、勾股定理及其逆定理以及三角形面积公式的运用等知识，综合性较强，难度适中，正确做出C到直线BD的垂线段是解题的关键．