Question

14．如图，正方形ABCD的边长为6，点E在边AB上，连接ED，过点D作FD⊥DE与BC的延长线相交于点F，连接EF与边CD相交于点G，与对角线BD相交于点H．若BD=BF，求BE的长．

Answer 1

分析 由四边形ABCD正方形，BF=BD=6 $\sqrt{2}$，由DF⊥DE，易证得△ADE≌△CDF，即可求得BE的长；

解答 解：如图，∵在正方形ABCD中，∠BCD=90°，BC=CD=6，
∴BD=6 $\sqrt{2}$．
∵DF⊥DE，
∴∠ADE+∠EDC=90°，∠EDC+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADE=∠CDF}\\{AD=DC}\\{∠A=∠DCF=90°}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF．
又∵BD=BF=6 $\sqrt{2}$，
∴AE=CF=BF-BC=6 $\sqrt{2}$-6，
∴BE=AB-AE=6-（6 $\sqrt{2}$-6）=12-6 $\sqrt{2}$，即BE的长为12-6 $\sqrt{2}$；

点评 此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及等边三角形的判定与性质．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．