Question

18．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC上一动点，CE⊥AD于P，交AB于点E，（3）若AC=2，O为AB中点，连接PO，如图3，求∠APO的度数．
（1）若AD平分∠BAC，如图1，求证：BE=CD；
（2）若D为BC的中点，如图2，求证：AE=2BE；
（3）若AC=2，O为AB中点，连接PO，如图3，求∠APO的度数．

Answer 1

分析 （1）如图1，作辅助线，构建△ACD≌△CBG，再证明BE=BG可得结论；
（2）如图2，证明△AEC∽△BEG，根据对应边的比：$\frac{AE}{EB}=\frac{AC}{BG}=2$，可得结论；
（3）如图3，作辅助线，构建全等三角形和等腰直角三角形，证明CP=BF，所以Rt△CDP≌Rt△BGF，得∠PCD=∠FBG，再证明△OCP≌△OBF，可以得△POF是等腰直角三角形，可得∠APO=90°-45°=45°．

解答 证明：（1）如图1，过B作BG⊥BC，交CE的延长线于G，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACP+∠PCD=90°，
∵AD⊥CE，
∴∠APC=90°，
∴∠ACP+∠CAD=90°，
∴∠PCD=∠CAD，
∵∠ACD=∠CBG=90°，
AC=BC，
∴△ACD≌△CBG（ASA），
∴CD=BG，
∵∠CBG=90°，∠ABC=45°，
∴∠EBG=45°，
∵∠BEG=∠AEC=90°-$\frac{45°}{2}$=67.5°，
∴∠G=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠G=∠BEG，
∴BE=BG，
∴CD=BE；
（2）如图2，过B作BG⊥BC，交CE的延长线于G，
同（1）得：△ACD≌△CBG，
∴CD=BG，
∵D是BC的中点，
∴CD=BG=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$AC，
∵BG∥AC，
∴△AEC∽△BEG，
∴$\frac{AE}{EB}=\frac{AC}{BG}=2$，
∴AE=2BE，
（3）如图3，过B作BG⊥BC，交CE的延长线于G，过B作BF⊥CE于F，连接OC、OF，
易证明△ACD≌△CBG，
∴CD=BG，∠ADC=∠G，AD=CG，
∵S_△ACD=S_△CBG，
∴$\frac{1}{2}$AD•CP=$\frac{1}{2}$CG•BF，
∴CP=BF，
∴Rt△CDP≌Rt△BGF（HL），
∴∠PCD=∠FBG，
在Rt△ACB中，O是AB的中点，
∴CO=BO，
∵∠OCP=90°-∠ACO-∠PCD，
∠OBF=90°-∠ABC-∠FBG，
∵∠ACO=∠ABC=45°，
∴∠OCP=∠OBF，
∴△OCP≌△OBF，
∴OP=OF，∠COP=∠BOF，
∴∠POF=90°，
∴△POF是等腰直角三角形，
∴∠OPF=45°，
∵∠APE=90°，
∴∠APO=90°-45°=45°．

点评 本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质和判定，本题能证明△ACD≌△CBG是关键，第二问利用三角形相似得出AE和BE的关系，第三问根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，再构建一对三角形全等，使问题得以解决．