Question

17．为了迎接“端午”小长假的购物高峰，某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：

运动鞋价格	甲	乙
进价（元/双）	m	m-20
售价（元/双）	160	150

已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．
（1）求m的值；
（2）专卖店计划购进的甲、乙两种运动鞋共200双，总进价不低于17600元，且不超过17660元，问该专卖店有哪几种进货方案？
（3）在（2）的条件下，求该专卖店要获得最大利润的进货方案及最大利润．

Answer 1

分析 （1）根据：甲运动鞋的总成本÷甲运动鞋的进价=乙运动鞋的总成本÷乙运动鞋的进价，列分式方程求解可得；
（2）设购进甲运动鞋x双，则乙运动鞋（200-x）双，根据“17600≤甲运动鞋的总成本+乙运动鞋的总成本≤17660”列不等式组求解可得；
（3）设专卖店获得的利润为W，根据“总利润=甲运动鞋的总利润+乙运动鞋的总利润”列出函数解析式，根据一次函数的性质求得最值即可得．

解答 解：（1）根据题意，得：$\frac{3000}{m}$=$\frac{2400}{m-20}$，
解得：m=100，
经检验：m=100是分式方程的解，
∴m=100；

（2）设购进甲运动鞋x双，则乙运动鞋（200-x）双，
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{100x+80（200-x）≥17600}\\{100x+80（20-x）≤17660}\end{array}\right.$，
解得：80≤x≤83，
∴购进的方案有：
方案一：购进甲运动鞋80双，乙运动鞋120双；
方案二：购进甲运动鞋81双，乙运动鞋119双；
方案三：购进甲运动鞋82双，乙运动鞋118双；
方案四：购进甲运动鞋83双，乙运动鞋117双．

（3）设专卖店获得的利润为W，
则W=（160-100）x+（150-80）（200-x）
=-10x+14000，
∵W随x的增大而减小，且80≤x≤83，x为整数，
∴当x=80时，W取得大值，最大值为13200元，
答：当该专卖店购进甲运动鞋80双、乙运动鞋120双获得的利润最大，最大利润为13200元．

点评 本题主要考查分式方程、一元一次不等式组和一次函数的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系或不等关系是解应用题的关键．