Question

2．如图，在等腰直角△ACB中，∠ACB=90°，O是斜边AB的中点，点D、E分别在直角边AC、BC上，且∠DOE=90°，DE交OC于点P．则下列结论：①∠AOD=∠COE；②图形中全等的三角形有3对； ③△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍；④CD+CE=$\sqrt{2}$OA；⑤AD²+BE²=2OD²，其中正确的结论有（　　）

• A． 2个
• B． 3个
• C． 4个
• D． 5个

Answer 1

分析 由同角的锐角互余可判断①；结合等腰直角三角形的性质可证明△AOD≌△COE，可得到AD=CE，则可求得CD=BE，可证明△COD≌△BOE，且△AOC≌△BOC，可判断②和③；由全等三角形的性质可知CE=AD，BE=CD，则可得到CD+CE=BC，可判断④；同理可得到AD²+BE²=CE²+CD²=DE²=OD²+OE²可判断⑤；可求得答案．

解答 解：
∵在等腰直角△ACB中，∠ACB=90°，O是斜边AB的中点，
∴CO⊥AB，且AO=CO=BO，∠OCB=∠OAC=∠B=∠ACO=45°，
∴∠AOD+∠COD=∠COD+∠COE=90°，
∴∠AOD=∠COE，故①正确；
在△AOD和△COE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠OCE}\\{AO=CO}\\{∠AOD=∠COE}\end{array}\right.$
∴△AOD≌△COE（ASA），
∴AD=CE，且AC=BC，
∴CD=BE，
在△COD和△BOE中
$\left\{\begin{array}{l}{CD=BE}\\{∠DCO=∠B}\\{CO=BO}\end{array}\right.$
∴△COD≌△BOE（SAS），
又由等腰直角三角形的性质可得△AOC≌△BOC，
∴全等的三角形有3对，故②正确；
∵△AOD≌△COE，
∴S_{四边形CDOE}=S_△COD+S_△COE=S_△AOD+S_△COD=S_△AOC=$\frac{1}{2}$S_△ABC，
∴S_△ABC=2S_{四边形CDOE}，故③正确；
∵CD=BE，
∴CD+CE=CE+BE=BC，
∵CO=OB=OA，
∴BC=$\sqrt{2}$OA，
∴CD+CE=$\sqrt{2}$OA，故④正确；
∴AD²+BE²=CE²+CD²=DE²=OD²+OE²=2OD²，故⑤正确；
综上可知正确的有5个，
故选D．

点评 本题为三角形的综合应用，涉及等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识．利用等腰直角三角形的性质证明三角形全等是解题的关键，需要掌握全等三角形的判定方法．本题综合性较强，考查知识点较多，难度适中．