Question

如图，C为线段AB上一动点，过A作AD⊥AB且AD=3，过B作BE⊥AB且BE=1，连接DC、EC，若AB=5，设AC=x．
（1）DC+EC的长为

 

（用含x的式子表示，不必化简）；
（2）当点C的位置满足

 

时，DC+EC的长最小，最小值是

 

；
（3）根据以上结论，你能通过构图求出

x2+4

+

(4-x)2+25

的最小值吗？请画出你的示意图，适当加以说明并求出此最小值．

Answer 1

分析：（1）表示出BC的长度，然后分别在Rt△ACD与Rt△BCE中利用勾股定理求出DC与EC的长度，相加即可；
（2）根据两点之间线段最短，当点C、D、E在同一直线时，DC+EC的长最小，此时△ACD与△BCE相似，根据相似三角形对应边成比例列式即可求出x的值，再代入进行计算即可求解；
（3）根据（2）的求解思路画出示意图并利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．

解答：解：（1）∵AB=5，AC=x，
∴BC=5-x，
∵AD=3，BE=1，
∴DC=

AD2+AC2

=

32+x2

，
EC=

BE2+EC2

=

12+(5-x)2

，
∴DC+EC的长为：

32+x2

+

12+(5-x)2

；

（2）如图，根据两点之间线段最短可知，当点C、D、E在同一直线时，DC+EC的长最小，
此时，∠ACD=∠BCE（对顶角相等），
∠A=∠B=90°（垂直定义），
∴△ACD∽△BCE，
∴

AD

BE

=

AC

BC

，
即

3

1

=

x

5-x

，
解得x=

15

4

，
此时，DC+EC=

32+x2

+

12+(5-x)2

=

32+( 15 4 )2

+

1+(5- 15 4 )2

=

41

；

（3）如图所示，
根据（2）中的求解思路，
当

2

5

=

x

4-x

时，
即x=

8

7

时，

x2+4

+

(4-x)2+25

有最小值，
此时

x2+4

+

(4-x)2+25

=

(5+2)2+42

=

65

．

点评：本题考查了利用轴对称求最短路线的问题，根据两点之间线段最短的性质以及相似三角形对应边成比例列式是解题的关键．