Question

3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，点D是弦BC的中点，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AB于点E，作射线DE交CA的延长线于F点，连接PF．
（1）若∠B=30°，AB=10，求劣弧$\widehat{PC}$的长；（结果保留π）
（2）线段AE与AF相等吗？为什么？
（3）PF与⊙O的相切吗？为什么？

Answer 1

分析 （1）根据弧长计算公式l=$\frac{nπr}{180}$进行计算即可；
（2）证明△BOD≌△POE可得DO=EO，根据等腰三角形的性质得到∠ODE=∠OED，根据平行线的性质得到∠ODE=∠AFE，等量代换得到∠AEF=∠AFE，由等腰三角形的判定即可得到结论；
（3）连接AP，PB，证出PA为EF的中垂线，再利用△AEP∽△BAP找出角的关系求解．

解答 （1）解：连接OC，
∵点D是弦BC的中点，AB是直径，
∴OD⊥BC，
∵AB是直径，
∴∠BDO=∠C=90°，
∵∠ABC=30°，AB=10，
∴AO=5，∠AOC=∠BOD=60°，
∴∠POA=60°，
∴∠POC=120°，
∴$\widehat{PC}$的长=$\frac{120•π•5}{180}$=$\frac{10}{3}$π；

（2）证明：∵PE⊥AB，OD⊥CB，
∴∠PEO=90°，∠BDO=90°
在△BDO和△PEO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BOD=∠PEO}\\{∠BOD=∠POE}\\{OB=OP}\end{array}\right.$，
∴△POE≌△BOD（AAS），
∴OD=EO，
∴∠ODE=∠OED，
∵∠BDO=∠BCA=90°，
∴OD∥AC，
∴∠ODE=∠AFE，
∵∠DEO=∠AEF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF；
（3）证明：如图，连接AP，PB，
∵OB=OP，
∴∠OBP=∠OPB，
由（2）得OD=EO，
∴∠ODE=∠OED，
又∵∠BOP=∠EOD，
∴∠OPB=∠ODE，
∴BP∥DF，
∵AB是直径，
∴∠APB=90°，
∴∠PQE=90°
∴PA⊥EF，
∵AE=AF，
∴PA为EF的中垂线，
∴∠EPQ=∠QPF，
∵△AEP∽△BAP
∴∠EPQ=∠EBP，
∴∠QPF=∠EBP，
∴∠QPF=∠OPB，
∵∠OPB+∠OPA=90°，
∴∠QPF+∠OPA=90°，
∴OP⊥PF，
∴PF是⊙O的切线．

点评 本题主要考查了切线的判定，解题的关键是适当的作出辅助线，准确的找出角的关系．