Question

4．问题探究：
新定义：
将一个平面图形分为面积相等的两个部分的直线叫做该平面图形的“等积线”，其“等积线”被该平面图形截得的线段叫做该平面图形的“等积线段”（例如圆的直径就是圆的“等积线段”）．
解决问题：

已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2$\sqrt{2}$．
（1）如图1，若AD⊥BC，垂足为D，则AD是△ABC的一条等积线段，求AD的长；
（2）在图2和图3中，分别画出一条等积线段，并求出它们的长度．（要求：使得图1、图2和图3中的等积线段的长度各不相等）

Answer 1

分析 （1）根据等积线段的定义，可知点D为线段BC的中点，然后根据题目中的条件可以求得AD的长度；
（2）根据题意可以分别画出相应的图形，然后根据相应的图形分别求出相应的等积线段．

解答 解：（1）在Rt△ABC中，
∵$AC=2\sqrt{2}$，∠C=45°，AD是△ABC的一条等积线段，
∴点D为线段BC的中点，BC=4，
∴AD=2；
（2）符合题意的图形如右上角图2和图3所示：
如图2，当BD是△ABC的一条等积线段时，
∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2$\sqrt{2}$，BD是△ABC的一条等积线段，
∴点D为AC的中点，
∴AD=$\sqrt{2}$，
∴BD=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{10}$；
如图3，当DE是△ABC的一条等积线段时，此时DE∥BC，
则△ADE的面积等于△ABC面积的一半，
∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2$\sqrt{2}$，
∴△ABC的面积为：$\frac{2\sqrt{2}×2\sqrt{2}}{2}=4$，
∴△ADE的面积是2，
设AD=a，
则 $\frac{{a}^{2}}{2}=2$，得a²=4，
∴DE=$\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}=\sqrt{2{a}^{2}}=\sqrt{2×4}=2\sqrt{2}$．

点评 本题考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形、新定义、勾股定理，解题的关键是明确题目中等积线段的定义，利用数形结合的思想解答问题．