Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧），抛物线的对称轴与x轴交于点D，且OB=2OD．

（1）当时，

①写出抛物线的对称轴；

②求抛物线的表达式；

（2）存在垂直于x轴的直线分别与直线：和抛物线交于点P，Q，且点P，Q均在x轴下方，结合函数图象，求b的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）或．

【解析】

（1）①由二次函数的对称轴方程可得出答案；

②根据题意求出B点坐标为（2，0），代入抛物线解析式可得出答案；

（2）求出E（-，0），点D的坐标为（-，0）．①当b＞0时，得出点A的坐标为（-2b，0），点B的坐标为（b，0），则-2b＜-，解不等式即可；②当b＜0时，点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（-b，0），则0＜-，解出b＜-2．

解：（1）当时，化为．

①．

②∵抛物线的对称轴为直线，

∴点D的坐标为（-1，），OD=1．

∵OB=2OD，

∴ OB=2．

∵点A，点B关于直线对称，

∴点B在点D的右侧．

∴ 点B的坐标为（，）．

∵抛物线与x轴交于点B（，），

∴ ．

解得．

∴抛物线的表达式为．

（2）设直线与x轴交点为点E，

当y=0时，

∴

∴ E（，0）．

抛物线的对称轴为，

∴点D的坐标为（，）．

①当时，．

∵OB=2OD，

∴ OB=b．

∴ 点A的坐标为（，），点B的坐标为（b，）．

当<时，存在垂直于x轴的直线分别与直线：和抛物线交于点P，Q，且点P，Q均在x轴下方，

解得．

②当时，．

∴ ．

∵OB=2OD，

∴ OB=-b．

∵抛物线与x轴交于点A，B，且A在B的左侧，

∴ 点A的坐标为（，），点B的坐标为（-b，）．

当0<时，存在垂直于x轴的直线分别与直线：和抛物线交于点P，Q，且点P，Q均在x轴下方，

解得b<-2．

综上，b的取值范围是或．