Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90，D为AB的中点，AE∥DC，CE∥DA．

（1）求证：四边形ADCE是菱形；

（2）连接DE，若AC =，BC =2，求证：△ADE是等边三角形．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析

【解析】

（1）先根据题意证明四边形ADCE是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得AD= BD=CD，即可可求证结论；

（2）在Rt△ABC中，由三角函数值可知∠CAB=30，继而根据菱形的性质可知AE = AD，∠EAD=2∠CAB=60，进而即可求证结论．

证明：（1）∵ AE∥DC，CE∥DA，

∴ 四边形ADCE是平行四边形．

∵ 在Rt△ABC中， D为AB的中点，

∴ AD= BD=CD=．

∴ 四边形ADCE是菱形．

（2）在Rt△ABC中，AC =，BC =2，

∴ ．

∴ ∠CAB=30．

∵ 四边形ADCE是菱形．

∴ AE = AD，∠EAD=2∠CAB=60．

∴ △ADE是等边三角形．