Question

3．如图，以矩形OCPD的顶点O为原点，它的两条边所在的直线分别为x轴和y轴建立直角坐标系．以点P为圆心，PC为半径的⊙P与x轴的正半轴交于A、B两点．若抛物线y=ax²+bx+4经过A，B，C三点，且AB=6．
（1）求⊙P的半径R的长；
（2）求该抛物线的解析式；
（3）求出该抛物线与⊙P的第四个交点E的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据垂径定理可得AD=DB=3，在Rt△PAD中，根据PA=$\sqrt{P{D}^{2}+A{D}^{2}}$即可解决问题．
（2）先确定A、B两点坐标，再根据待定系数法即可解决问题．
（3）根据对称性即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，连接PA．

∵PD⊥AB，
∴AD=DB=$\frac{1}{2}$AB=3，
∵抛物线y=ax²+bx+4与y轴交于点C，
∴C（0，4），
∴OC=4，
∵四边形PDOC是矩形，
∴PD=OC=3，∠PDA=90°，
∴PC=PA=$\sqrt{P{D}^{2}+A{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴R=5．

（2）由（1）可知A（，2，0），B（8，0），
把A、B两点坐标代入y=ax²+bx+4得到，$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+4=0}\\{64a+8b+4=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{4}}\\{b=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{5}{2}$x+4．

（3）如图2中，

根据对称性，点C、点E关于对称轴x=5对称，
∵点C（0，4）
∴点E坐标（10，4）．

点评 本题考查圆综合题、垂径定理、二次函数、待定系数法、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．