Question

如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O与BC相切于点C，⊙O与AB相交于点D，E是BC的中点．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的直径为5，

AD

CD

=

1

2

，求DE的长．

Answer 1

考点：切线的判定与性质

专题：

分析：（1）连接OD．欲证ED与⊙O相切，只需证明OD⊥DE；
（2）通过相似三角形△ADC∽△CDB的对应边成比例知

BC

AC

=

DC

AD

，由此可以求得线段BC的长度，根据直角三角形斜边中线的性质即可求得．

解答：（1）证明：连接OD．
∵BC是⊙O⊙的切线，AC是直径，
，∴∠ACB=90°，
∵AC是直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠CDB=90°，
又∵EB=EC
∴DE为直角△DCB斜边的中线，
∴DE=CE=

1

2

BC．
∴∠DCE=∠CDE，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∴∠ODC+∠CDE=∠OCD+∠DCE=∠ACB=90°，
∴∠ODE=90°
∴DE是⊙O的切线．

（2）∵

AD

CD

=

1

2

，
∴设AD=x，CD=2x，
∵AC=5，AD²+DC²=AC²，
∴x²+（2x）²=5²，
∴x=1，
即AD=1，CD=2，
在Rt△BDC和Rt△ADC中，∠ADC=∠BDC=90°，∠ABC=90°，
∴∠ABC+∠A=90°，∠ABC+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∵△ADC∽△CDB，
∴

BC

AC

=

DC

AD

，
即

BC

5

=

2

1

，
∴BC=10．
∴DE=

1

2

BC=5．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质．圆心到一条直线的距离等于该圆的半径，则该直线就是圆的一条切线．