Question

已知：如图所示，△ABC中，AD⊥BC，AB=AE，点E在AC的垂直平分线上．
（1）请问：AB、BD、DC有何数量关系？并说明理由．
（2）如果∠B=60°，证明：CD=3BD．

Answer 1

考点：线段垂直平分线的性质,含30度角的直角三角形

专题：

分析：（1）根据线段垂直平分线性质求出AE=EC，根据等腰三角形性质求出BD=DE，即可得出答案；
（2）求出BD=DE，AB=AE=EC，求出∠DAE=30°，根据含30度角的直角三角形性质求出AE=2DE，即可得出答案．

解答：解：（1）AB+BD=DC，
理由是：∵点E在AC的垂直平分线上，
∵AB=AE，
∴AB=AE=EC，
∵AB=AE，AD⊥BE，
∴BD=DE，
∵DE+EC=DC，
∴AB+BD=DC；

（2）证明：∵AD⊥BE，
∴∠ADE=∠ADB=90°，
∵AB=AE，
∴∠B=∠AEB=60°，
∴∠DAE=30°，
∴AE=2DE，
∵AB=AE=EC，BD=DE，
∴CD=DE+CE=DE+2DE=3DE=3BD．

点评：本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线性质，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质的应用，解此题的关键是推出AB=AE=EC，AE=2DE，综合性比较强，难度适中．