Question

观察下列等式：
第1个等式：a₁=

1

1×3

=

1

2

×（1-

1

3

）
第2个等式：a₂=

1

3×5

=

1

2

×（

1

3

-

1

5

）
第3个等式：a₃=

1

5×7

=

1

2

×（

1

5

-

1

7

）
第4个等式：a₄=

1

7×9

=

1

2

×（

1

7

-

1

9

）
…请回答下列问题：
（1）按以上规律用含有n的代数式表示第n个等式：a_n=

 

（n为正整数）．
（2）求a₁+a₂+a₃+…+a_n的值．

Answer 1

考点：规律型：数字的变化类

专题：

分析：（1）观察知，找第一个等号后面的式子规律是关键：分子不变，为1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为 序号的2倍减1和序号的2倍加1．
（2）运用（1）的变化规律计算．

解答：解：（1）a_n=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

×（

1

2n-1

-

1

2n+1

）；
（2）a₁+a₂+a₃+…+a_n
=

1

2

×（1-

1

3

）+

1

2

×（

1

3

-

1

5

）+

1

2

×（

1

5

-

1

7

）+

1

2

×（

1

7

-

1

9

）+…+

1

2

×（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

×（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+

1

7

-

1

9

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

×（1-

1

2n+1

）
=

n

2n+1

．

点评：此题考查寻找数字的规律及运用规律计算．寻找规律大致可分为2个步骤：不变的和变化的；变化的部分与序号的关系．